Cho vectơ →u,→u′ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
LG a
Chứng minh rằng tích vô hướng →u.→u′ thỏa mãn
→u.→u′=12(ˉzz′+z¯z′)
Giải chi tiết:
Viết z=x+yi,z′=x′+y′i(x,y,x′,y′∈R) thì →u.→u′=xx′+yy′ và ˉzz′+z¯z′=(x−yi)(x′+y′i)+(x+yi)(x′−y′i)
=2(xx′+yy′)
nên →u.→u′=12(ˉzz′+zˉz′)
LG b
Từ câu a) suy ra rằng nếu ˉu≠0 thì →u,→u′ vuông góc khi và chỉ khi z′z là số ảo.
Giải chi tiết:
→u.→u′=0⇔ˉzz′+z¯z′=0, chia cả hai vế cho zˉz≠0, được
→u.→u′=0⇔z′z+¯z′¯z=0
⇔z′z+¯(z′z)=0⇔z′z là số ảo.
LG c
Chứng minh rằng →u,→u′ vuông góc khi và chỉ khi |z+z′|=|z−z′|
Giải chi tiết:
|z+z′|=|z−z′|
⇔(z+z′)(¯z+z′)=(z−z′)(¯z−z′)
⇔ˉzz′+z¯z′=0,
nên câu a) nó tương đương với →u.→u′=0 (Chú ý: khi →u.→u′ không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)
