Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng a2.
LG a
Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của BC thì HI=a2=SH.
Gọi J là trung điểm của SI thì HJ⊥SI, mặt khác HJ⊥BC, vậy HJ⊥mp(SBC) đồng thời HJ=SI2=12.a2√2=a√24.
Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng a√24.
Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.
LG b
Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi Std là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để Std=πR2.
Lời giải chi tiết:
Gọi H1 là giao điểm của (P) và SH thì HH1=x,0<HH1<R và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông A1B1C1D1. Khi ấy
SA1B1C1D1SABCD=(a2−xa2)2=(a−2x)2a2.
Từ đó SA1B1C1D1=(a−2x)2.
Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi r2=R2−x2 hay r2=a28−x2=a2−8x28, từ đó diện tích hình tròn thu được là 18π(a2−8x2).Vậy
Std=(a−2x)2−18π(a2−8x2)=18[8(a−2x)2−π(a2−8x2)].
Ta có
Std=πR2=18πa2⇔8(a−2x)2−πa2+8πx2=πa2⇔4[(a−2x)2+πx2]=πa2⇔x=4a−πa8+2π
(vì 0<x<R=a√24).
