Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:
LG a
Chứng minh
√5x+2+√5y+2+√5z+2≤6√3,
∀x,y,z≥−25,x+y+z=6.
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ :→u=(1;1;1) và →v=(√5x+2;√5y+2;√5z+2).
Ta có |→u|=√3,|→v|=√5(x+y+z)+6=6,→u.→v=√5x+2+√5y+2+√5z+2.
Áp dụng bất đẳng thức |→u.→v|≤|→u|.|→v| suy ra đpcm.
LG b
Chứng minh |sinx+√2−sin2x+sinx√2−sin2x|≤3,∀x.
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ :→u=(sinx;1;√2−sin2x) và →v=(1;√2−sin2x;sinx)
Từ |→u.→v|≤|→u|.|→v| suy ra đpcm.
LG c
Tìm giá trị lớn nhất của tham số
f(x)=√x+m+√x+n+√m+n
Với x,m,n≥0,x+m+n=1
Lời giải chi tiết:
Xét hai vectơ : →u=(√x+m;√x+n;√m+n) và →v=(1;1;1).
Ta có |→u|=√2, |→v|=√3 suy ra f(x)=→u.→v≤|→u|.|→v|=√6.
Dấu bằng xảy ra khi →u, →v cùng hướng, nghĩa là
√x+m1=√x+n1=√m+n1>0⇔x=m=n>0.
Kết hợp với x+m+n=1 suy ra x=m=n=13
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng √6 khi x=m=n=13
LG d
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=√(x+1)2+y2+4+√x2+(y+1)2+1,
∀x,y.
Lời giải chi tiết:
Đặt →u=(x+1;y;2), →v=(−x;−y−1;1), ta có →u+→v=(1;−1;3).
Áp dụng bất đẳng thức |→u+→v|≤|→u|+|→v|, ta suy ra
A=√(x+1)2+y2+4+√x2+(y+1)2+1
≥√11.
Dấu bằng xảy ra khi →u,→v cùng hướng, nghĩa là
x+1−x=y−y−1=21>0⇔{x=−13y=−23.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng √11 khi x=−13,y=−23.
LG e
Chứng minh:
√(x−1)2+(y−1)2+(z+1)2
+√(x+1)2+(y−1)2+(z−1)2≥2√2,∀x,y,z
Dấu = xảy ra khi nào?
Lời giải chi tiết:
Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm A(1;1;−1),B(−1;1;1) và M(x;y;z). Khi đóAB=2√2 và
MA=√(x−1)2+(y−1)2+(z+1)2,
MB=√(x+1)2+(y−1)2+(z−1)2.
Từ bất đẳng thức MA+MB≥AB, ta suy ra
√(x−1)2+(y−1)2+(z+1)2
+√(x+1)2+(y−1)2+(z−1)2≥2√2.
Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay→AM=t→AB ,0≤t≤1.
nghĩa là
{x−1=−2ty−1=0z+1=2t⇔{x=1−2ty=1z=−1+2t 0≤t≤1.
