LG a
Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số
\(y = {{{mx^2} + (2m - 1)x - 1} \over {x + 2}}\)
có cực đại và cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng
\(y = mx - 1 + {1 \over {x + 2}}\)
Khi đó
\(y' = m - {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{m{x^2} + 4mx + 4m - 1} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\\
\Delta ' = 4{m^2} - m\left( {4m - 1} \right) = m
\end{array}\)
Với m > 0 thì \(\Delta ' >0\), phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 2 - {1 \over {\sqrt m }};{x_2} = - 2 + {1 \over {\sqrt m }}\)
Hàm số đạt cực đại tại \({x_1}\) và đạt cực tiểu tại \({x_2}\).
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
Lời giải chi tiết:
Với \(m = 1\) ta được hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = - 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) nên TCX: \(y = x - 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; - 1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3,{y_{CD}} = - 5\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), \({y_{CT}} = - 1\).
+) Đồ thị:
