LG a
Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số
y=mx2+(2m−1)x−1x+2
có cực đại và cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng
y=mx−1+1x+2
Khi đó
y′=m−1(x+2)2=mx2+4mx+4m−1(x+2)2
y′=0⇔mx2+4mx+4m−1=0Δ′=4m2−m(4m−1)=m
Với m > 0 thì Δ′>0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1=−2−1√m;x2=−2+1√m
Hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
Lời giải chi tiết:
Với m=1 ta được hàm số y=x2+x−1x+2=x−1+1x+2
+) TXĐ: D=R∖{−2}
+) Chiều biến thiên:
lim nên TCĐ: x = - 2.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0 nên TCX: y = x - 1.
Ta có:
\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \infty ; - 3} \right) và \left( { - 1; + \infty } \right).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \left( { - 3; - 2} \right) và \left( { - 2; - 1} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = - 3,{y_{CD}} = - 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, {y_{CT}} = - 1.
+) Đồ thị:
