LG a
Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số
y=mx2+(2m−1)x−1x+2
có cực đại và cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng
y=mx−1+1x+2
Khi đó
y′=m−1(x+2)2=mx2+4mx+4m−1(x+2)2
y′=0⇔mx2+4mx+4m−1=0Δ′=4m2−m(4m−1)=m
Với m > 0 thì Δ′>0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1=−2−1√m;x2=−2+1√m
Hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
Lời giải chi tiết:
Với m=1 ta được hàm số y=x2+x−1x+2=x−1+1x+2
+) TXĐ: D=R∖{−2}
+) Chiều biến thiên:
limx→(−2)+y=+∞,limx→(−2)−y=−∞ nên TCĐ: x=−2.
limx→±∞[y−(x−1)]=limx→±∞1x+2=0 nên TCX: y=x−1.
Ta có:
y′=1−1(x+2)2y′=0⇔1−1(x+2)2=0⇔(x+2)2−1(x+1)2=0⇔(x+2)2=1⇔[x+2=1x+2=−1⇔[x=−1x=−3
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−3) và (−1;+∞).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−3;−2) và (−2;−1).
Hàm số đạt cực đại tại x=−3,yCD=−5
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−1, yCT=−1.
+) Đồ thị:
