Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).
LG a
Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.
Lời giải chi tiết:
Ta có →OA=(1;2;−1), →OB=(−1;1;1), →OC=(1;0;1)
⇒→OA.→OB=0,→OB.→OC=0,→OC.→OA=0⇒OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.
LG b
Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.
Lời giải chi tiết:
Giả sử S(x;y;z) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có :
→SA=(1−x;2−y;−1−z),→SB=(−1−x;1−y;1−z),→SC=(1−x;−y;1−z).
Ta có: {→SA.→SB=0→SB.→SC=0→SC.→SA=0⇔{x2+y2+z2−3y=0x2+y2+z2−y−2z=0x2+y2+z2−2x−2y=0
{y=zx2+y2+z2−3y=0y=2x⇒[x=0x=23.
Khi x=0 thì y=z=0, điểm S trùng với điểm O.
Khi x=23 thì y=z=43, S=(23;43;43) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông.
LG c
Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó M=(0;32;0), N=(1;1;0), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3.
LG d
Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).
Lời giải chi tiết:
Ta có →AB = (-2 ; -1 ; 2), →AC = (0 ; -2 ; 2).
Vì [→AB,→AC] = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là →n(1;2;2).
mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là →k=(0;0;1).
Gọi (φ) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì :
cosφ=|→n.→k||→n|.|→k|=2√1+4+4=23.
