Đề bài
Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol y=x2−3x đi qua điểm A(32;−52) và chúng vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết
Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là
y=k(x−32)−52 (Dk)
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng (Dk) là nghiệm của phương trình
x2−3x=kx−32k−52⇔2x2−2(k+3)x+3k+5=0
Đường thẳng (Dk) là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là
Δ′=(k+3)2−2(3k+5)=0⇔k2−1=0⇔k=±1
Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A.
Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là k1=1 và k2=−1.
Vì k1.k2=−1 nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
