Cho hình tứ diện ABCD.
LG 1
Chứng minh rằng nếu chân H của đường cao hình tứ diện xuất phát từ A trùng với trực tâm của tam giác BCD và nếu AB⊥AC thì AC⊥AD và AD⊥AB.
Lời giải chi tiết:
Do H là trực tâm ΔBCD nên BH⊥CD.
Mặt khác AH⊥(BCD) nên AH⊥CD.
Vậy CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB.
Cùng với giả thiết AC⊥AB, ta suy ra AB⊥(ACD)⇒AB⊥AD.
Tương tự AC⊥AD.
LG 2
Giả sử BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A, J là chân của đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = h, HJ = d. Tính thể tích của hình tứ diện ABCD theo d và h.
Lời giải chi tiết:
Từ AB = AC = AD suy ra HB = HC = HD, tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Xét tam giác vuông AHD, ta có :
1HJ2=1AH2+1HD2⇒1HD2=1d2−1h2⇒HD=hd√h2−d2.
Do tam giác BCD đều nên DH=BC.√33, hay BC=DH√3.
Vậy V=13SBCD.AH=√3d2h34(h2−d2).
