Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng :
LG a
[→a,→b]=−[→b,→a]
Lời giải chi tiết:
Giả sử →a=(x1;y1;z1),→b=(x2;y2;z2),→c=(x3;y3;z3)
[→a,→b]=(|y1y2z1z2|;|z1z2x1x2|;|x1x2y1y2|)=(y1z2−y2z1;z1x2−z2x1;x1y2−x2y1)=−(y2z1−y1z2;z2x1−z1x2;x2y1−x1y2)=−(|y2y1z2z1|;|z2z1x2x1|;|x2x1y2y1|)=−[→b,→a].
LG b
[→a,→a]=→0
Lời giải chi tiết:
Từ câu a) ta có [→a,→a]=−[→a,→a] , suy ra [→a,→a]=→0.
LG c
[k→a,→b]=k[→a,→b]=[→a,k→b]
Lời giải chi tiết:
k[→a,→b]=(k|y1y2z1z2|;k|z1z2x1x2|;k|x1x2y1y2|)=(|ky1y2kz1z2|;|kz1z2kx1x2|;|kx1x2ky1y2|)=[k→a,→b].
Tương tự k[→a,→b]=[→a,k→b].
LG d
[→c,→a+→b]=[→c,→a]+[→c,→b]
Lời giải chi tiết:
LG e
→a[→b,→c]=[→a,→b].→c
Lời giải chi tiết:
→a.[→b,→c]=x1(|y2y3z2z3|+y1|z2z3x2x3|+z1|x2x3y2y3|)=x3(|y1y2z1z2|+y3|z1z2x1x2|+z3|x1x2y1y2|)=[→a,→b].→c
LG g
|[→a,→b]2|=|→a|2.|→b|2−(→a.→b)2.
Lời giải chi tiết:
VP=|→a|2.|→b|2−(→a.→b)2=|→a|2.|→b|2−|→a|2.|→b|2cos2α=|→a|2.|→b|2(1−cos2α)=|→a|2.|→a|2.sin2α
=|[→a,→b]|2=VT ( ở đây α=(→a,→b)).
