Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và vuông góc với mp(ABC). Gọi (C) là đường tròn đường kính BC trong mp(P) và S là điểm bất kì thuộc (C). Khi S thay đổi trên (C), chứng minh rằng :
LG a
SA2+SB2+SC2 không đổi
Lời giải chi tiết:
Vì ^BSC= 90∘ nên SB2+SC2=BC2=a2.
Gọi H là trung điểm của BC thì
SH=12BC=a2 và AH⊥BC.
Mặt khác, (P)⊥mp(ABC) và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến BC nên AH⊥(P).
Từ đó SA2=SH2+AH2=a24+3a24=a2.
Vậy SA2+SB2+SC2=a2+a2=2a2.
LG b
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là điểm cố định ( nếu S khác B, C).
Lời giải chi tiết:
Vì HB = HC = HS, AH⊥mp(SBC) nên đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔSBC.
Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH. Mặt khác, ABC là tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là cố định.
