Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kì trên Δ, S khác A.
LG 1
Khi SA=h (h cho trước ), hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC thì G∈d và d//Δ.
Trong mp(Δ,d), đường trung trực của SA cắt d tại điểm I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và R=IA là bán kính của mặt cầu đó.
Dễ thấy GI=12SA=h2,AG=a√33, từ đó IA2=h24+a23=112(4a2+3h2).
Vậy mặt cầu đó có diện tích là
S=π3(4a2+3h2)
Và thể tích là
V=43π.(√4a2+3h22√3)3=π18√3(√4a2+3h2)3.
LG 2
Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng khi S thay đổi Δ thì A’ thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải chi tiết:
Khi S thay đổi trên đường thẳng Δ thì tâm I của mặt cầu ấy thay đổi trên đường thẳng d.
Mặt khác →AA′=2→AI, vậy A’ thuộc đường thẳng Δ′ song song với Δ và qua điểm A1 sao cho →AA1=2→AG, tức là A’ thuộc đường thẳng cố định Δ′.
