Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng các điểm A, B, C và các trung điểm A', B', C' của các cạnh SA, SB, SC cùng thuộc một mặt cầu bán kính R.
LG 1
Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường cao SH của hình chóp.
Lời giải chi tiết:
Vì A, B, A', B' cùng thuộc một mặt cầu và A'B'//AB nên ABBA' là hình thang cân, từ đó SA = SB. Lập luận tương tự ta có SB = SC.
Vậy SA = SB = SC.
Suy ra đường cao SH của hình chóp S.ABC chính là trục của tam giác ABC. Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc SH.
LG 2
Cho góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°, chứng minh rằng H là tâm của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B,C, A' ,B' ,C'.
Khi đó, hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh H chính là tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, A', B', C', Thật vậy, do SH \( \bot \) mp(ABC) nên từ đó \(HC{\rm{ }} = {1 \over 2}SC,\) mặt khác C'S = C'C nên\(HC' = {1 \over 2}SC\).
Từ chứng minh trên ta có HA = HB = HC = HC' = HA' = HB', tức H là tâm của mặt cầu đi qua A, B, C, A', B', C'.
Gọi G là trung điểm của C'C thì HG \( \bot \) SC. Kẻ C'H' song song với GH \(\left( {H' \in SH} \right)\) thì H'S = H'C, từ đó H' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và H'S là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Ta có \(H'{S^2} = H'C{'^2} + SC'{^2}\) ,mặt khác
\(H'C' = {2 \over 3}HG,HG = {{R\sqrt 3 } \over 2},SC' = {{SC} \over 2} = R.\)
Từ đó \(H'{S^2} = {\left( {{2 \over 3}.{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {R^2} = {{{R^2}} \over 3} + {R^2} = {{4{R^2}} \over 3}.\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là \({{16\pi {R^2}} \over 3}.\)
