Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng các điểm A, B, C và các trung điểm A', B', C' của các cạnh SA, SB, SC cùng thuộc một mặt cầu bán kính R.
LG 1
Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường cao SH của hình chóp.
Lời giải chi tiết:
Vì A, B, A', B' cùng thuộc một mặt cầu và A'B'//AB nên ABBA' là hình thang cân, từ đó SA = SB. Lập luận tương tự ta có SB = SC.
Vậy SA = SB = SC.
Suy ra đường cao SH của hình chóp S.ABC chính là trục của tam giác ABC. Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc SH.
LG 2
Cho góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°, chứng minh rằng H là tâm của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B,C, A' ,B' ,C'.
Khi đó, hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh H chính là tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, A', B', C', Thật vậy, do SH ⊥ mp(ABC) nên từ đó HC=12SC, mặt khác C'S = C'C nênHC′=12SC.
Từ chứng minh trên ta có HA = HB = HC = HC' = HA' = HB', tức H là tâm của mặt cầu đi qua A, B, C, A', B', C'.
Gọi G là trung điểm của C'C thì HG ⊥ SC. Kẻ C'H' song song với GH (H′∈SH) thì H'S = H'C, từ đó H' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và H'S là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Ta có H′S2=H′C′2+SC′2 ,mặt khác
H′C′=23HG,HG=R√32,SC′=SC2=R.
Từ đó H′S2=(23.R√32)2+R2=R23+R2=4R23.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 16πR23.
