Đề bài
Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho cosa.cosb.cosc≠0. Tìm phần ảo của số phức.
(1+itana)(1+itanb)(1+itanc)
Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:
tana+tanb+tanc=tana.tanb.tanc
Khi và chỉ khi a+b+c=kπ(k∈R)
Lời giải chi tiết
Phần ảo của số phức (1+itana)(1+itanb)(1+itanc) bằng
tana+tanb+tanc−tanatanbtanc
Vậy tana+tanb+tanc=tanatanbtanc khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của π
Mặt khác , 1+itana=1cosa(cosa+isina) có acgumen là a+lπ (l là số nguyên bất kì); tương tự cho 1+itanb;1+itanc. Vậy
(1+itana)(1+itanb)(1+itanc) có acgumen là a+b+c+mπ,m∈Z
Kết luận: tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
⇔a+b+c=kπ(k∈Z)
