Bài 27 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

135 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

LG a

Chứng minh ${A'C} \bot (AB'D').$

Lời giải chi tiết:

Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có

A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)

B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).

Ta có :

$\eqalign{ & \overrightarrow {A'C} = (a;a; - a), \cr & \overrightarrow {AB'} = (a;0;a),\overrightarrow {AD'} = (0;a;a) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'} = 0,\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'} = 0 \cr & \Rightarrow \overrightarrow {A'C} \bot \overrightarrow {{\rm{AB'}}} ,\overrightarrow {A'C} \bot \overrightarrow {AD'} \cr & \Rightarrow A'C \bot mp(AB'D'). \cr}$

LG b

Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh $A'C \bot MN.$

Lời giải chi tiết:

Ta lại có :

$\eqalign{ & N(a;0;{a \over 2}),M\left( {0;{a \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {a; - {a \over 2};{a \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A'C} = {a^2} - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = 0 \Rightarrow MN \bot A'C. \cr}$

LG c

Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {AC'}$ .

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {AC'} = (a;a;a)$ nên

$\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = {{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \over {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = {{{a^2} - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2}} \over {\sqrt {{{3{a^2}} \over 2}} .\sqrt {3{a^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 3}$

LG d

Tính ${V_{A'CMN}}$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {A'N} .\overrightarrow {A'M} } \right].\overrightarrow {A'C} } \right|. \cr & \cr}$

Ta có :

$\eqalign{ & \overrightarrow {A'N} = (a;0; - {a \over 2}),\overrightarrow {A'M} = \left( {0;{a \over 2}; - a} \right). \cr & \left[ {\overrightarrow {A'N} ,\overrightarrow {A'M} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 0 \hfill \cr {a \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - {a \over 2} \hfill \cr - a \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - {a \over 2} \hfill \cr a \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ a \hfill \cr \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ a \hfill \cr \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr {a \over 2} \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( {{{{a^2}} \over 4};{a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {{{{a^3}} \over 4} + {a^3} - {{{a^3}} \over 2}} \right| = {1 \over 6}\left| {{{3{a^3}} \over 4}} \right| = {{{a^3}} \over 8}. \cr}$

SBT Toán lớp 12 Nâng cao