Đề bài
Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: AB//A′B′,AC//A′C′,AD//A′D′, CB//C′B′,BD//B′D′,DC//D′C′. Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.
Lời giải chi tiết
Vì AB//A′B′ nên có số k≠0 sao cho →AB=k→A′B′. Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có →AC=k→A′C′,→AD=k→A′D′,→CB=k→C′B′,
BD=k→B′D′,→DC=k→D′C′.
Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho →AC=l→A′C′ và →CB=m→C′B′. Khi đó :
→AB=k→A′B′⇔→AC−→BC=k(→A′C′−→B′C′)⇔l→A′C′−m→B′C′=k→A′C′−k→B′C′⇔(l−k)→A′C′=(m−k)→B′C′.
Vì hai vectơ →A′C′ và →B′C′ không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi l−k=m−k=0, tức là l=m=k, vậy →AC=k→A′C′ và →BC=k→B′C′.
Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
Xét trường hợp k=1. Khi đó →AB=→A′B′,→BC=→B′C′,...nên
→AA′=→BB′=→CC′=...
Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ →v=→AA′ biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.
Nếu k≠1 thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.
Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số 1k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.
Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.
