Đề bài
Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: \(AB//A'B',AC//A'C',AD//A'D',\) \(CB//C'B',BD//B'D',DC//D'C'.\) Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.
Lời giải chi tiết
Vì \(AB//A'B'\) nên có số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {A'B'} \). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {CB} = k\overrightarrow {C'B'} ,\)
\(BD = k\overrightarrow {B'D'} ,\overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {D'C'} .\)
Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho \(\overrightarrow {AC} = l\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {CB} = m\overrightarrow {C'B'} \). Khi đó :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {A'B'} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = k\left( {\overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {B'C'} } \right) \cr & \Leftrightarrow l\overrightarrow {A'C'} - m\overrightarrow {B'C'} = k\overrightarrow {A'C'} - k\overrightarrow {B'C'} \cr & \Leftrightarrow \left( {l - k} \right)\overrightarrow {A'C'} = \left( {m - k} \right)\overrightarrow {B'C'} . \cr} \)
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(l - k = m - k = 0\), tức là l=m=k, vậy \(\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BC} = k\overrightarrow {B'C'} \).
Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.
Xét trường hợp \(k = 1\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} ,...\)nên
\(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = ...\)
Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AA'} \) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.
Nếu \(k \ne 1\) thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.
Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số \({1 \over k}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.
Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.
