Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
LG a
25x+1−5x+2+m=0
Lời giải chi tiết:
Đặt 5x+1=t(t>0) . Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình t2−5t+m=0 (1) có ít nhất một nghiệm dương.
Điều kiện để (1) có nghiệm là Δ=25−4m≥0 hay m≤254. Gọi các nghiệm của (1) là t1 và t2(t1≤t2), theo hệ thức Vi-ét t1+t2=5 suy ra t2>0. Do đó nếu (1) có nghiệm thì luôn có nghiệm dương.
Suy ra phương trình (1) có ít nhất nghiệm dương ⇔m≤254
Hay phương trình đã cho có nghiệm ⇔m≤254.
LG b
(19)x−m.(13)x+2m+1=0.
Lời giải chi tiết:
Đặt (13)x=t(t>0). Bài toán trở thành
Tìm m để phương trình t2−mt+2m+1=0 (2) có ít nhất một nghiệm dương. Điều kiện để (2) có nghiệm là Δ=m2−4(2m+1)=m2−8m−4≥0
hay m≤4−2√5 hoặc m≥4+2√5
Gọi các nghiệm của (2) là t1 và t2(t1≤t2), theo hệ thức Vi-ét
t1+t2=m;t1t2=2m+1
- Với m≥4+2√5 thì t1+t2=m≥4+2√5 suy ra t2>0
- Với m<−12 thì t1t2<0 suy ra t2>0
- Với −12<m<4−2√5 thì t1+t2<0 và t1t2<0 suy ra t1<t2<0
Vậy với m<−12 hoặc m≥4+√5 thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm t2>0, suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với
Δ=m2−8m−4;S=m;P=2m+1
