Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
d:{x=1+2ty=−1+tz=2−t.
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α):3y−z−7=0 và (α′):3x+3y−2z−17=0.
LG a
Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là →n = (0 ; 3 ; -1) và →n′ = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :
→ud′=−13[→n,→n′]=(1;1;3).
Vectơ chỉ phương →ud của d là →ud = (2 ; 1 ; -1).
Vì →ud.→ud′=0 nên d⊥d′.
Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).
Lời giải chi tiết:
Ta lấy một điểm A nào đó thuộc d′. Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có A(1;0;−7)∈d′.. Vì d⊥ d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua d′. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :
2(x−1)+(y−0)−(z+7)=0
⇔2x+y−z−9=0.
Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ
{x=1+2ty=−1+tz=2−t2x+y−z−9=0
⇒t=53⇒H=(133;23;13).
LG c
Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình
z = m (m≠0).
Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ
{x=1+2ty=−1+tz=2−tz=m⇒M=(5−2m;1−m;m).
Toạ độ giao điểm M′(x ; ỵ ; z) của d′ và (Q) thoả mãn hệ
{3y−z−7=03x+3y−2z−17=0z=m
⇒M′=(10+m3;7+m3;m).
Gọi I là trung điểm của MM′ thì I=(25−5m6;5−m3;m).
Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số
{x=25−5m6x=5−m3z=m;
bỏ đi điểm (256;53;0) (ứng với m = 0).
