Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
\(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\)
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng
\(\left( \alpha \right):3y - z - 7 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):3x + 3y - 2z - 17 = 0.\)
LG a
Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \) = (0 ; 3 ; -1) và \(\overrightarrow {n'} \) = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {1;1;3} \right).\)
Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) của d là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2 ; 1 ; -1).
Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\) nên \(d \bot d'.\)
Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).
Lời giải chi tiết:
Ta lấy một điểm A nào đó thuộc \(d'\). Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right) \in d'.\). Vì d\( \bot \) d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua \(d'\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :
\( 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x + y- z- 9 = 0.\)
Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2{\rm{ - }}t \hfill \cr 2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right).\)
LG c
Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình
z = m (m\( \ne \)0).
Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \Rightarrow M = \left( {5 - 2m;1 - m;m} \right).\)
Toạ độ giao điểm \(M'\)(x ; ỵ ; z) của \(d'\) và (Q) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ 3y - z - 7 = 0 \hfill \cr 3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow M' = \left( {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right).\)
Gọi I là trung điểm của \(MM'\) thì \(I = \left( {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right).\)
Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{ x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right.;\)
bỏ đi điểm \(\left( {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right)\) (ứng với m = 0).
