Cũng câu hỏi như trong bài tập 1.33 đối với đường cong
\(y = {x^3} + 3{x^2} + 4x - 2\)
LG a
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I của đường cong. Biết rằng hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} + 6x + 4\\
y'' = 6x + 6\\
y'' = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = - 4\\
\Rightarrow I\left( { - 1; - 4} \right)
\end{array}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại I là:
\(k = y'\left( { - 1} \right) = 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 6.\left( { - 1} \right) + 4 = 1\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y = 1\left( {x + 1} \right) - 4 \Leftrightarrow y = x - 3\)
Vậy điểm I (-1;-4); phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm I là y = x - 3.
LG b
Xét vị trí tương đối của đường cong (C) và tiếp tuyến tại điểm I của (C) (tức là xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới tiếp tuyến)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} + 4x - 2 > x - 3\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} > 0\\
\Leftrightarrow x + 1 > 0\\
\Leftrightarrow x > - 1
\end{array}\)
Do đó,
+) Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến
+) Trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến.
