Cho hàm số f(x)=sin2x+cosx
LG a
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn [0;π3] và nghịch biến trên đoạn [π3;π]
Lời giải chi tiết:
Hàm số liên tục trên đoạn [0;π]
Ta có:
f′(x)=2sinxcosx−sinx
=sinx(2cosx−1),x∈(0;π)
Vì khi đó sinx > 0 nên
f′(x)=0⇔cosx=12⇔x=π3
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên đoạn [0;π3] và nghịch biến trên đoạn [π3;π]
LG b
Chứng minh rằng với mọi m∈(−1;1), phương trình
sin2x+cosx=m
có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn [0;π]
Lời giải chi tiết:
+) Hàm số f liên tục trên đoạn [0;π3], f(π3)=54 và f(π)=−1.
Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với mọi m∈(−1;1)⊂(−1;54) tồn tại một số thực c∈(π3;π) sao cho f(c) = 0.
Số c là nghiệm của phương trình trong b).
Vì hàm số f nghịch biến trên [π3;π]nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.
+) Vì với mọi x∈(0;π3) ta có 1≤f(x)≤54 nên phương trình đã nêu không có nghiệm m∈(−1;1)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc (0;π)
