LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x\).
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\), \({y_{CD}} = - 3\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\).
+) Đồ thị:
LG b
Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
\(y = {{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}} = \left| {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right| = \left| {f\left( x \right)} \right|\)
Do đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\) từ (C) như sau:
+) Giữ nguyên phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
+) Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị của hàm số (C) qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.
LG c
Với các giá trị nào của m, phương trình
\({{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\)
Có bốn nghiệm phân biệt ?
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).
Do đó để phương trình \({{{x^2} + x + 1} \over {\left| {x + 1} \right|}} = m\) có 4 nghiệm phân biệt thì \(m>3\).
