Đề bài
Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số z1,z0 thì z02+z12=z0z1
Lời giải chi tiết
Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng π3 hoặc −π3 tức là khi và chỉ khi z0≠0 và nếu đặt z1z0=α thì |α|=1 và một acgumen của α là π3 hoặc −π3.
Mặt khác, khi z1z0=α thì z20+z21=z0z1⇔z20+α2z20=αz20⇔1+α2=α
⇔α2−α+1=0⇔α=1±√3i2⇔⌊α⌋=1 và một acgumen của α là π3 hoặc −π3.
Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi z20+z21=z0z1 ( z≠0).
