Đề bài
Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình
\(y = {x^2} - 3x - 1\)
Tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
\(y = {{ - {x^2} + 2x - 3} \over {x - 1}}\)
Viết phương trình tiếp tuyến tuyến chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng.
Lời giải chi tiết
Ta viết hàm số thứ hai dưới dạng
\(y = - x + 1 - {2 \over {x - 1}}\)
Hoành độ của tiếp điểm (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{- x + 1 - {2 \over {x - 1}} = {x^2} - 3x - 1 \hfill \cr - 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x - 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với phương trình
\(\eqalign{& {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2(x - 1) \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
x = 2 cũng là nghiệm của phương trình đầu của hệ.
Hệ có nghiệm duy nhất là x = 2.
Do đó hai đường cong (P) và (C) tiếp xúc với nhau tại điểm A(2;-3).
Lại có: \(f'\left( 2 \right) = g'\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình tiếp tuyến chung là:
\(y = 1.\left( {x - 2} \right) - 3\)\( \Leftrightarrow y = x - 5\)
Vậy phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) là y = x – 5.
