Giải bài 47 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao

160 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác AIB có IA = IB = 2a, $\widehat {AIB}$ =120⁰. Trên đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mp(AIB) tại I, lấy các điểm C và D sao cho ABC là tam giác vuông, ABD là tam giác đều.

LG 1

Tính thể tích và diện tích toàn phần cửa tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Vì IA = IB = 2a, $\widehat {AIB}$ =120⁰ nên $A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} - 2IA.IB.\cos$ $\widehat {AIB}$ =12a², từ đó $AB = 2a\sqrt 3$ . Do $CD \bot mp(AIB)$ tại I, IA = IB nên CA = CB. Kết hợp với giả thiết ABC là tam giác vuông, ta có ABC là tam giác vuông tại C và $CA = CB = {{AB} \over {\sqrt 2 }} = a\sqrt 6 .$

Vì ABD là tam giác đều nên $AD = AB = 2a\sqrt 3 .$

Từ đó $C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = 6{a^2} - 4{a^2} = 2{a^2},$ tức là $CI = a\sqrt 2 ,$

$D{I^2} = A{D^2} - A{I^2} = 12{a^2} - 4{a^2} = 8{a^2},$ tức là $DI =2 a\sqrt 2 ,$

$\bullet$ Hai điểm C, D thuộc đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mp(AIB) tại điểm I nên có hai trường hợp xảy ra.

+) Trường hợp 1. C, D nằm về hai phía đối với điểm I.

Dễ thấy $CD = 3a\sqrt 2$ , từ đó $C{D^2} = 18{a^2}$ ; mặt khác $A{C^2} + A{D^2} = 18{a^2},$ tức là $C{D^2} = A{C^2} + A{D^2}.$ Như vậy $\widehat {CAD}$ = 90⁰. Tương tự ta cũng có $\widehat {CBD}$ = 90⁰.

${V_{ABCD}} = {V_{D.AIB}} + {V_{C.AIB}}$

$= {1 \over 3}.{1 \over 2}AI.BI\sin \widehat {AIB}.(ID+IC)$

$= {1 \over 3}.{1 \over 2}.2a.2a.{{\sqrt 3 } \over 2}.3a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 6 .$

Gọi ${S_{tp}}$ là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD thì

$\eqalign{ {S_{tp}} &= {S_{ACD}} + {S_{BCD}} + {S_{ABC}} + {S_{ABD}} \cr & = 2.{1 \over 2}CD.AI + {{A{C^2}} \over 2} + {{A{B^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr & = 3a\sqrt 2 .2a + {1 \over 2}.6{a^2} + 12{a^2}.{{\sqrt 3 } \over 4} \cr & = 6{a^2}\sqrt 2 + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3 \cr & = 3{a^2}(1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 ) \cr}$

+) Trường hợp 2. C, D nằm về một phía đổi với điểm I.

$\eqalign{ & {V_{ABCD}} = {V_{DAIB}} - {V_{CAIB}} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}, \cr & {S_{tp}} = 2{a^2}\sqrt 2 + 3{a^2} + 3{a^2}\sqrt 3 \cr & \;\;\;\;\;\;= {a^2}(3 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 3 ). \cr}$

LG 2

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

+) Trường hợp 1.

Vì $\widehat {CAD} = \widehat {CBD}$ = 90⁰ nên CD là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, từ đó bán kính mặt cầu phải tìm bằng ${{3a\sqrt 2 } \over 2}$ và diện tích mặt cầu bằng $18\pi {a^2}.$

+) Trường hợp 2.

Gọi J là trung điểm của AB thì JA = JB = JC.

Xét đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua J và vuông góc với mp(ABC).

Khi đó, mọi điểm thuộc ${\Delta _1}$ cách đều các điểm A, B, C và ${\Delta _1}$ nằm trong mp(CDJ) ( do mp(CDJ) vuông góc với mp(ABC)).

Trong mp(CDJ), đường trung trực của CD cắt ${\Delta _1}$ tại điểm O thì OA = OB = OC = OD = R.

Ta có ${\rm{IJ}} = a,CJ = a\sqrt 3 .$ Kẻ $OH \bot IJ$ thì

$OH = IK = {{3a\sqrt 2 } \over 2}.$ Xét các tam giác ICJ và HJO, ta có sin C = sin J hay ${{{\rm{IJ}}} \over {JC}} = {{OH} \over {JO}}.$ Vậy $JO = {{OH.JC} \over {{\rm{IJ}}}} = {{{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a\sqrt 3 } \over a} = {{3a\sqrt 6 } \over 2}.$

Từ đó $O{C^2} = C{J^2} + J{O^2} = 3{a^2} + {{54{a^2}} \over 4} = {{66{a^2}} \over 4}.$

Vậy diện tích mặt cầu phải tìm là $66\pi {a^2}.$

LG 3

Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

+) Trường hợp 1.

Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì dễ thấy $r = {{3{V_{ABCD}}} \over {{S_{tp}}}},$ từ đó

$\eqalign{ r = &{{3{a^3}\sqrt 6 } \over {3{a^2}(1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 )}} \cr & = {{a\sqrt 6 } \over {1 + \sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}. \cr}$

+) Trường hợp 2.

$r = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {{a^2}\left( {3 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt 3 } \right)}} = {{a\sqrt 6 } \over {3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}.$

SBT Toán lớp 12 Nâng cao