Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (P) có phương trình :
d:x−124=y−93=z−11,(P):3x+5y−z−2=0
LG a
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Tính góc giữa d và (P)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua điểm (12 ; 9 ; 1) và có vectơ chỉ phương →ud(4;3;1). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến →nP=(3;5;−1).
Vì →ud.→nP=4.3+3.5+1.(−1)=26≠0 nên d cắt (P).
Gọi A là giao điểm của d với (P), toạ độ điểm A(x ; y ; z) thoả mãn hệ
{x=12+4ty=9+3tz=1+t3x+5y−z−2=0⇒t=−3⇒A=(0;0;−2)
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có :
sinα=|→ud.→nP||→ud|.|→nP|=26√26.√35=√26√35.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M0 (1; 2; -1) và vuông góc với đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (P) vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của d. Do đó, (P′) có phương trình :
4(x−1)+3(y−2)+1(z+1)=0 hay 4x+3y+z−9=0.
LG c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu d′ của d trên mp(P) là giao tuyến của mp(P) và mp(Q), với (Q) đi qua d và vuông góc với (P). Như vậy, (Q) có vectơ pháp tuyến là :
→nQ=[→ud,→nP]=(|315−1|;|14−13|;|4335|)
=(−8;7;11).
Phương trình tổng quát của mp(Q) là
−8(x−12)+7(y−9)+11(z−1)=0
hay 8x−7y−11z−22=0.
Vậy hình chiếu d′ của d trên mp(P) là giao tuyến của hai mặt phẳng :
3x+5y−z−2=0 và 8x−7y−11z−22=0.
Đường thẳng d' có phương trình tham số là
{x=62ty=−25tz=−2+61t.
LG d
Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BB’.
Lời giải chi tiết:
(P) là mặt phẳng trung trực của BB' khi và chỉ khi BB′⊥(P) và giao điểm của BB' với (P) là trung điểm của đoạn thẳng BB'.
Ta có phương trình đường thẳng BB' là
{x=1+3ty=5tz=−1−t.
Gọi H là giao điểm của BB' với (P) thì toạ độ (x ; ỵ ; z) của H thoả mãn hệ :
{x=1+3ty=5tz=−1−t3x+5y−z−2=0
⇒t=−235⇒H=(2935;−27;−3335).
H là trung điểm của BB' nên
{xB′=2xH−xB=2335yB′=2yH−yB=−47zB′=2zH−zB=−3135⇒B′=(2335;−47;−3135)
LG e
Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng Δ phải tìm nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng (R) đi qua A(0;0;−2) và vuông góc với d.
Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến →nR=(4;3;1) nên có phương trình
4x+3y+z+2=0.
Vậy Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x+5y−z−2=0 và4x+3y+z+2=0; suy ra Δ có phương trình tham số là
{x=8ty=−7tz=−2−11t.
