Giải bài 1.21 trang 13 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

\(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn [-4;4]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \in \left[ { - 4;4} \right]\\
x = - 3 \in \left[ { - 4;4} \right]
\end{array} \right.\\
f\left( { - 4} \right) = 21,f\left( 4 \right) = 77\\
f\left( 1 \right) = - 4,f\left( { - 3} \right) = 28
\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} f(x) = f(1) = - 4;\)

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} {\rm{ }}f(x){\rm{ }} = f(4) = 77\)

LG b

\(f(x) = {x^3} + 5x - 4\) trên đoạn [-3;1]

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) hay cũng đồng biến trên \(\left[ { - 3;1} \right]\).

\( \Rightarrow \)\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f( - 3) = - 46;\)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f(x) = f(1) = 2\)

LG c

\(f(x) = {x^4} - 8{x^2} + 16\) trên đoạn [-1;3]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 4{x^3} - 16x\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 16x = 0\\
\Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left[ { - 1;3} \right]\\
x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]\\
x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right]
\end{array} \right.\\
f\left( { - 1} \right) = 9,f\left( 3 \right) = 25\\
f\left( 0 \right) = 16,f\left( 2 \right) = 0
\end{array}\)

Vậy:

\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(2) = 0\)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} f(x) = f(3) = 25\)

LG d

\(f(x) = {x \over {x + 2}}\) trên nửa khoảng (-2;4]

Lời giải chi tiết:

\(f'(x) = {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 2\).

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left( { - 2;4} \right]\)

BBT:

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( { - 2;4} \right]} f(x) = f(4) = {2 \over 3}\).

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng \(\left( {-2;4} \right]\).

LG e

\(f(x) = x + 2 + {1 \over {x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 1\\
x - 1 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 \in \left( {1; + \infty } \right)\\
x = 0 \notin \left( {1; + \infty } \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

BBT:

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\(\mathop {\min f}\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} (x) = f(2) = 5\)

LG f

\(f\left( x \right) = x\sqrt {1 - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

\(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - {{{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\)\(= {{1 - 2x^2} \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) với -1 < x < 1

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\)

BBT:

\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( { - 1;1} \right)} f(x) = f( - {{\sqrt 2 } \over 2}) = -{1 \over 2};\)

\(\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{x \in \left( { - 1;1} \right)} {\rm{ }}f(x) = f({{\sqrt 2 } \over 2}) = {1 \over 2}\)