LG a
Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và mp(α):2x−y+z+1=0. Tìm tọa độ điểm M trên (α) sao cho |MA−MB| đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& P(A) = 2.3 - 1 + 0 + 1 = 6 \cr
& P(B) = 2.( - 9) - 4 + 9 + 1 = - 12 \cr
& P(A).P(B) = 6.\left( { - 12} \right) < 0 \cr} \)
Do đó hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (α).
Gọi A' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (α), ta có :
|MA−MB|=|MA′−MB|≤A′B (không đổi).
Dấu "=" xảy ra khi A' nằm giữa hai điểm B, M hay M là giao điểm của đường thẳng A'B với mp(α).
Vậy bài toán được giải theo trình tự sau
* Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(α),
Ta tìm được A' = (-1 ; 3 ; -2).
* Tìm giao điểm M của đường thẳng A'B với mp(α).
Đường thẳng A'B có phương trình: {x=−1+8ty=3−tz=−2−11t.
Toạ độ điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:
{x=−1+8ty=3−tz=−2−11t2x−y+z+1=0⇒t=1⇒M=(7;2;−13).
Vậy |MA−MB| lớn nhất khi M=(7;2;−13).
LG b
Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và mp(α):x+y+z+3=0. Tìm điểm M trên (α) để |→MA+→MB| đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của đoạn AB⇒I=(5;2;5).
Ta có →MA+→MB=2→MI⇒|→MA+→MB|=2MI.
Vậy |→MA+→MB| nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất với I cố định và M∈(α)⇔M là hình chiếu vuông góc với I trên mp(α).
Toa độ của M(x;y;z) là nghiệm của hệ:
{x=5+ty=2+tz=5+tx+y+z+3=0⇒t=−5⇒M=(0;−3;0).
Kết luận: |→MA+→MB| nhỏ nhất =2MI=10√3 khi M= (0; -3; 0).
