Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng :
d1:x−11=y−22=z−2,d2:x−22=y−24=z−4.d3:x2=y1=z−11,d4:x−22=y2=z−1−1.
LG a
Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 ( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương →u1(1 ; 2; -2). Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương →u2 (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng →u2= 2→u1 nên d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(α)
Ta có vectơ pháp tuyến của mp(α) là
→nα=[→u1,→M1M2]=(0;−2;−2).
Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:
0(x−1)−2(y−2)−2(z−0)=0
(α):y+z−2=0.
LG b
Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d3 và mp(α). Toạ độ của A thoả mãn hệ
{x=2ty=tz=1+ty+z−2=0⇒t=12
Suy ra A= (1;12;32)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d4 và mp(α). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0).
Đường thẳng AB nằm trong (α) cắt cả d3 và d4.
Mặt khác →AB =(3;32;−32) không cùng phương với →u1(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d] và d2. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm.
d:x−42=y−21=z−1
