Cho hàm số
\(y = {{{x^2} + m} \over {x - 1}},m \ne - 1\)
LG a
Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng \(y = - x + 7\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = x + 1 + \frac{{m + 1}}{{x - 1}}\)
\(y' = 1 - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Đồ thị (C ) tiếp xúc với đường thẳng \(y = - x + 7\)
\( \Leftrightarrow \) hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 1 + \frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - x + 7\\1 - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\\frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\\frac{1}{{x - 1}}.\left( { - 2x + 6} \right) = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\ - 2x + 6 = 2\left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\ - 4x + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 1\).
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho m = 1.
Lời giải chi tiết:
Với \(m = 1\) ta có:
\(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ \(x = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0\) nên TCX: \(y = x + 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt 2 \\x - 1 = - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
+) Đồ thị:
