Đề bài
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC≠0.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M0(1;2;4) có phương trình:
a(x−1)+b(y−2)+c(z−4)=0 (1)
hay ax+by+cz=a+2b+4c với a+2b+4c≠0 (theo giả thiết)
Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:
A=(a+2b+4ca;0;0)B=(0;a+2b+4cb;0)C=(0;0;a+2b+4cc)
Vì OA = OB = OC nên OA2=OB2=OC2, do đó ta có
(a+2b+4c)2a2=(a+2b+4c)2b2=(a+2b+4c)2c2
Hay a2=b2=c2. Có những trường hợp sau xảy ra:
+) Nếu a, b, c cùng dấu thì a=b=c và phương trình (1) trở thành
x+y+z−7=0.
+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì a=b=−c. Phương trình (1) trở thành
x+y−z+1=0.
+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì a=c=−b. Phương trình (1) trở thành
x−y+z−3=0.
+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì –a=b=c. Phương trình (1) trở thành :
−x+y+z−5=0.
