Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và cung BD là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứa trong hình vuông (h.1.4). Tiếp tuyến tại M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt x = DP và y = BQ
LG a
Chứng minh rằng
PQ2=x2+y2−2x−2y+2 và PQ=x+y
Từ đó tính y theo x
Lời giải chi tiết:
Tam giác PCQ vuông tại C có PC=1−x,QC=1−y và vuông tại C nên theo Pitago ta có:
PQ2=PC2+CQ2=(1−x)2+(1−y)2=1−2x+x2+1−2y+y2=x2+y2−2x−2y+2
Lại có,
BC, QP là tiếp tuyến với đường tròn (A;AB) cắt nhau tại Q nên QM=QB=y
DC, QP là tiếp tuyến với đường tròn (A;AB) cắt nhau tại P nên PM=PD=y
Vậy PQ=PM+MQ=x+y.
⇒PQ2=(x+y)2=x2+2xy+y2⇒x2+y2−2x−2y+2=x2+2xy+y2⇔2xy+2x+2y−2=0⇔xy+x+y−1=0⇔y(x+1)=1−x⇔y=1−xx+1
Vậy y=1−xx+1,0<x<1
LG b
Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
PQ=x+y=x+1−xx+1=x2+x+1−xx+1=x2+1x+1
Do đó, PQ=x2+1x+1,0<x<1.
Xét hàm
f(x)=x2+1x+1f′(x)=2x(x+1)−(x2+1)(x+1)2=x2+2x−1(x+1)2f′(x)=0⇔x2+2x−1=0⇔[x=√2+1∉(0;1)x=√2−1∈(0;1)
Do đó, đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi x=√2−1
