Cho hàm số
y=x−2x−1
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D=R∖{1}
+) Chiều biến thiên:
lim nên TCN y = 1
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty nên TCĐ x = 1
Ta có:
y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ;1} \right) và \left( {1; + \infty } \right) nên không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi m \ne 0, đường thẳng y = mx - 3m cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt, trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong (H) là nghiệm của phương trình.
mx - 3m = {{x - 2} \over {x - 1}}
\Leftrightarrow (mx - 3m)(x - 1) = x - 2
\Leftrightarrow f(x) = m{x^2} - (4m + 1)x + 3m + 2 = 0 (1)
Vì với mọi m \ne 0
\Delta = {(4m + 1)^2} - 4m(3m + 2) = 4{m^2} + 1 > 0
Nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: {x_1} = 2 + {{1 - \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}} và {x_2} = 2 + {{1 + \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}}.
Do đó, với mọi m \ne 0, đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu m < 0 thì {x_1} > 2 vì {{1 - \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}} > 0
- Nếu m > 0 thì {x_2} > 2 vì {{1 + \sqrt {4{m^2} + 1} } \over {2m}} > 0
