Cho hàm số
y=x−2x−1
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D=R∖{1}
+) Chiều biến thiên:
limx→±∞y=1 nên TCN y=1
limx→1+y=−∞,limx→1−y=+∞ nên TCĐ x=1
Ta có:
y′=1(x−1)2>0,∀x∈D
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) nên không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi m≠0, đường thẳng y=mx−3m cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt, trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong (H) là nghiệm của phương trình.
mx−3m=x−2x−1
⇔(mx−3m)(x−1)=x−2
⇔f(x)=mx2−(4m+1)x+3m+2=0 (1)
Vì với mọi m≠0
Δ=(4m+1)2−4m(3m+2)=4m2+1>0
Nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: x1=2+1−√4m2+12m và x2=2+1+√4m2+12m.
Do đó, với mọi m≠0, đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt.
- Nếu m < 0 thì x1>2 vì 1−√4m2+12m>0
- Nếu m > 0 thì x2>2 vì 1+√4m2+12m>0
