Đề bài
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?
Lời giải chi tiết
Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO⊥(ABCD).
Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD (E∈AD,H∈BC).
Vì AD//BC nên AD//(SBC), do đó
d(A,(SBC))=d(E,(SBC))
Kẻ EK⊥SH. Dễ thấy EK⊥(SBC) suy ra
EK=d(A,(SBC))=2a.
Ta có : BC⊥SH,BC⊥OH⇒^SHO là góc giữa mặt bên (SBC) và mặt phẳng đáy. Đặt ^SHO=x(0<x<π2). Khi đó :
EH=2asinx;OH=asinx;SO=asinxtanx=acosx
Vậy: VS.ABCD=13SABCD.SO=4a33cosxsin2x
Từ đó VS.ABCD nhỏ nhất khi và chỉ khi y(x)=cosx.sin2x đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
y′(x)=−sin3x+2sinx.cos2x=sinx(2cos2x−sin2x)=sinx(2−3sin2x)=3sinx(√23−sinx)(√23+sinx)
Vì 0<x<π2 nên sinx(√23+sinx)>0
Gọi α là góc sao cho sinα=√23;0<α<π2
Ta có bảng biến thiên của hàm số y(x)=cosx.sin2x:
Vậy VS.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi x=α với 0<α<π2 và sinx=√23.
Loigiaihay.com
