Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1) và C(2;1;1).
LG a
Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác .
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {CA} = ( - 1; - 1; - 1),\overrightarrow {CB} = ( - 2; - 1;0)\)
\( \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)
\(= ( - 1;2; - 1) \ne \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng, tức A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
LG b
Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Chu vi tam giác ABC bằng \(AB + BC + CA = \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \)
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]} \right| \)
\(= {1 \over 2}\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = {{\sqrt 6 } \over 2}.\)
LG c
Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Giả sử D = (x,y,z) ta có : \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;0;1),\overrightarrow {DC} = (2 - x;1 - y;1 - z).\)
Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 - x = - 1 \hfill \cr 1 - y = 0 \hfill \cr 1 - z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow D = (3;1;0).\)
LG d
Tính độ dài đường cao \({h_A}\) của tam giác ABC kẻ từ A.
Lời giải chi tiết:
Gọi \({h_A}\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, ta có :
\({h_A} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\)
LG e
Tính các góc của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
\({\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow A = {90^0}\) (tam giác ABC vuông tại A).
\(\eqalign{ & \cos B = {{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \over {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = {2 \over {\sqrt {10} }} = {{\sqrt {10} } \over 5}. \cr & \cos C = {{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \over {\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = {3 \over {\sqrt {15} }} = {{\sqrt {15} } \over 5}. \cr} \)
LG g
Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng A. Vậy H=(1;0;0).
Ta có thể làm cách khác như sau :
Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC, ta có hệ
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AH} \text{ đồng phẳng}\hfill \cr} \right. \cr & \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0. \hfill \cr} \right.\)
Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {BC} = (2;1;0),\cr&\overrightarrow {BH} = (x;y;z - 1), \cr & \overrightarrow {AB} = ( - 1;0;1),\overrightarrow {AC} = (1;1;1) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 1;2; - 1),\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 1 - x + 2y - z. \cr} \)
Vậy ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \matrix{ 2x - 2 + y = 0 \hfill \cr x + y + z - 1 = 0 \hfill \cr 1 - x + 2y - z = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x + y = 2 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr x - 2y + z = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(1;0;0).\)
LG h
Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông tại A nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó \(I = \left( {1;{1 \over 2};1} \right).\)
Ta có thể làm cách như sau:
Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có hệ
\(\left\{ \matrix{ AI = BI \hfill \cr AI = CI \hfill \cr\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AI} \text{ đồng phẳng} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AI} = 0 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {1 \over 2} \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(1;{1 \over 2};1). \)
