Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên 5a2; chiều cao hình lăng trụ bằng h.
LG 1
Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
Lời giải chi tiết:
Vì hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đứng nên chỉ cần chứng minh đáy ABCD có đường tròn nội tiếp.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ⊥AB,IJ⊥CD. Gọi O là trung điểm của IJ thì OI=OJ=IJ2. Kẻ BH⊥CD.
Ta có IJ=BH=√BC2−HC2
=√25a24−(2a−a2)2=2a.
Vậy OI = OJ = a.
Mặt khác OB2=OI2+IB2
=a2+a24=5a24,OC2=OJ2+JC2=a2+4a2=5a2,
từ đó ta có BC2=OB2+OC2.
Kẻ đường cao OK của tam giác vuông OBC thì OK.BC = OB.OC, suy ra
OK=a√52.a√55a2=a.
Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD.
Vậy hình trụ có trục OO’ ( O, O’ là tâm hai đường tròn đáy) và bán kính đáy bằng a chính là hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
LG 2
Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó.
Lời giải chi tiết:
Diện tích toàn phần của hình trụ đó là
S=2πa2+2πah=2πa(a+h)
Và thể tích hình trụ đó là
V=πa2h.
Chú ý. Có thể giải thích ABCD có đường tròn nội tiếp bởi điều kiện
AB + CD = BC + AD.
