Đề bài
Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.
Lời giải chi tiết
Dễ thấy R=SA22SH, từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì
R=a2+3h26h(1)VS.ABC=13.a2√34.h(2)
Từ (1) và (2) ta có:
VS.ABC=√312h(6Rh−3h2)=√312h.3h(2R−h)=√34h.h(2R−h).
Mặt khác h < 2R nên VS.ABC lớn nhất khi và chỉ khi h.h.(2R−h) lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi h=4R3. Khi đó
a2=3h(2R−h)=4R(2R−4R3)=8R23, tức là a=2R√63.
Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng 2R√63.
∙ Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.
Ta cũng có R=SA22SH, trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó R=a2+4h2sin2πn8hsin2πn, suy ra a2=4h(2R−h)sin2πn
Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì S=na24cotπn.
Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng
V=na212cotπn.h=n12cotπn.h.4hsin2πn.(2R−h)=n3cotπnsin2πn.h.h(2R−h)=n6cotπnsin2πn.h.h(4R−2h).
Vậy V lớn nhất khi và chỉ khi h=4R3 và từ đó
a2=sin2πn.16R3(2R−4R3)=sin2πn.32R29,
Tức là a=4R√23.sinπn.
Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao h=4R3 và cạnh đáy a=4R√23sinπn có thể tích lớn nhất.
