Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại trung điểm của mỗi cạnh, đồng thời mặt cầu đó đi qua trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.
LG 1
Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
Lời giải chi tiết:
Gọi A1,B1,C1 lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC và A2,B2,C2 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Vì AB, AC là hai tiếp tuyến với mặt cầu tại B2,C2 nên AB2=AC2, suy ra AB = AC.
Tương tự ta có BA = BC.
Vậy AB = AC = BC, nghĩa là ABC là tam giác đều.
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC thì O cũng là tâm của tam giác đều A2B2C2.
Kí hiệu O1 là giao điểm của SO và mp(A1B1C1) thì O1 cũng là tâm của tam giác đều A1B1C1 (vì phép vị tự tâm S, tỉ số 12 biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1).
Do mp(A1B1C1) song song với mp(ABC) nên O1O đi qua tâm I của mặt cầu, đồng thời O1O vuông góc với cả hai mặt phẳng đó, từ đó SA=SB=SC.
Vậy S.ABC là hình chóp đều.
LG 2
Tính diện tích mặt cầu, biết cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h.
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy tâm I của mặt cầu là trung điểm của O1O và bán kính r của mặt cầu bằng IC2. Ta có IC22=IO2+OC22=h216+a212.
Vậy diện tích mặt cầu đó bằng
4(h216+a212)π=π(h24+a23).
