Giải và biện luận các phương trình sau:
LG a
log3x−log3(x−2)=log√3m;
Lời giải chi tiết:
Điều kiện x>2,x>0. Đưa về tìm nghiệm lớn hơn 2 của phương trình x=(x−2)m2 hay (1−m2)x=−2m2
Vậy
+) m>1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=2m2m2−1
+) m≤1 thì phương trình vô nghiệm.
LG b
4sinx+21+sinx=m
Lời giải chi tiết:
Đặt 2sinx=y, vì −1≤sinx≤1 nên 12≤y≤2
Ta có phương trình: y2+2y−m=0 (1)
Tính được: Δ′=1+m
- Với m<−1 thì (1) vô nghiệm.
- Với m=−1 thì (1) có nghiệm kép y=−1 (loại)
- Với m>−1 thì (1) có hai nghiệm phân biệt y1=−1+√m+1 và y2=−1−√m+1 (loại)
y1=−1+√m+1 thỏa mãn điều kiện khi
{−1+√m+1≥12−1+√m+1≤2 tức là {m≥54m≤8
Khi đó
2sinx=−1+√m+1
⇔sinx=log2(−1+√m+1)=sinφ
(−π2≤φ≤π2)
Ta có x=φ+k2π;x=π−φ+k2π(k∈Z)
Từ đó ta đi đến kết luận
+) Với m<54 hoặc m>8: Phương trình vô nghiệm.
+) Với m=54: Phương trình có nghiệm x=−π2+k2π(k∈Z)
+) Với m=8: Phương trình có nghiệm x=π2+k2π(k∈Z)
+) Với 54<m<8: Phương trình có nghiệm x=φ+k2π;x=π−φ+k2π với sinφ=log2(−1+√m+1),k∈Z
