Đề bài
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của BB’.
Ta có A′M//KC nên
d(CK,A′D)=d(CK,(A′MD))=d(K,(A′MD)).
Đặt d(CK,A′D)=x. Ta có
VA′.MDK=VK.A′MD=13SA′MD.x(1)
Mặt khác
VA′.MDK=VM.A′DK
=13SA′DK.d(M,(A′DK))
=13(12a.12a).a=a312(2)
Từ (1) và (2) suy ra : SA′MD.x=a34.
Hạ
DI⊥A′M⇒AI⊥A′M⇒AI.A′M=AA′.d(M,AA′)=a2⇒AI=2a√5⇒DI2=DA2+AI2=a2+4a25=9a25⇒DI=3a√5.
Vậy SA′MD=12DI.A′M=12.3a√5.a√52=3a24.
Từ (3) và (4) suy ra x=a3.
