Đề bài
Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của BB’.
Ta có \(A'M//KC\) nên
\(\eqalign{ & d\left( {CK,A'D} \right) = d\left( {CK,\left( {A'MD} \right)} \right) \cr & = d\left( {K,\left( {A'MD} \right)} \right). \cr} \)
Đặt \(d\left( {CK,A'D} \right) = x.\) Ta có
\({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;(1)\)
Mặt khác
\({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\)
\( = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left( {M,\left( {A'DK} \right)} \right)\)
\(= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\)
Hạ
\(\eqalign{ & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M \cr & \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left( {M,AA'} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}. \cr} \)
Vậy \({S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\)
Từ (3) và (4) suy ra \(x = {a \over 3}.\)
