Đề bài
Biểu diễn hình học các số 5+i và 239+i rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện 0<a<π2,0<b<π2 và tana=15,tanb=1239 thì 4a−b=π4
Lời giải chi tiết
Điểm M để biểu diễn số 5+i, điểm N biểu diễn số 239+i thì tan(Ox,OM)=15=tana, tan(Ox,ON ) =1239=tanb.
Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy, còn 0<a<π2, 0<b<π2 nên một acgumen của 5+i là a, một acgumen của 239+i là b . Từ đó một acgumen của (5+i)4239+i là 4a−b.
Ta có (5+i)4239+i=476+480i239+i, mà (239+i)(1+i)=238+240i
Nên (5+i)4239+i=2(1+i)
Số 2(1+i) có một acgumen bằng π4
Vậy 4a−b=π4+k2π (k∈Z).
Dễ thấy 0<b<a<π4, suy ra 4a−b=π4.
