Đề bài
Biểu diễn hình học các số \(5 + i\) và \(239 + i\) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện \(0 < a < {\pi \over 2},0 < b < {\pi \over 2}\) và \({\mathop{\rm tana}\nolimits} = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits} = {1 \over {239}}\) thì \(4a - b = {\pi \over 4}\)
Lời giải chi tiết
Điểm M để biểu diễn số \(5 + i\), điểm N biểu diễn số \(239 + i\) thì \(\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a\), tan(\({\rm{O}}x,ON\) ) \( = {1 \over {239}} = \tan b\).
Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\), còn \(0 < a < {\pi \over 2}\), \(0 < b < {\pi \over 2}\) nên một acgumen của \(5 + i\) là \(a\), một acgumen của \(239 + i\) là \(b\) . Từ đó một acgumen của \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}\) là \(4a - b\).
Ta có \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\), mà \(\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i\)
Nên \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)\)
Số \(2(1 + i)\) có một acgumen bằng \({\pi \over 4}\)
Vậy \(4a - b = {\pi \over 4} + k2\pi \) \((k \in Z)\).
Dễ thấy \(0 < b < a < {\pi \over 4}\), suy ra \(4a - b = {\pi \over 4}\).
