Đề bài
Tìm số phức z sao cho |z|=|z−2| và một acgumen của z−2 bằng một acgumen của z+2 cộng với π2
Lời giải chi tiết
Cần tìm z sao cho |z|=|z−2| chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1.
z−2z+2=(z−2)(¯z+2)|z+2|2=z¯z−4+2(z−¯z)|z+2|2=li(l>0) khi và chỉ khi z¯z−4=0 (tức là |z|=2) và phần ảo của z phải dương.
Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng x=1 là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là z=1+√3i (Về hình học: điều kiện một acgumen của z−2 bằng một acgumen z+2 cộng với π2 có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng π2) (h.4.10
Cách 2: Nếu viết z=x+yi(x,y∈R) thì |z|=|z−2|⇔x=1
Khi đó z−2z+2=1+iy−21+iy+2=−1+iy3+iy=−3+y2+4iy9+y2=li (l thực dương)
⇔{y2=3y>0⇔y=√3
Vậy z=1+√3i
