Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5;1;-5), D(-2; 8; -5) và đường thẳng d:x+53=y+115=z−9−4.
LG a
Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.
Lời giải chi tiết:
Ta có →AB=(2;3;−1),→AC=(7;0;−7), suy ra
[→AB,→AC]=(|3−10−7|;|−12−77|;|2370|)
=(−21;7;−21).
Lại có →AD=(0;7;−7) nên [→AB,→AC].→AD=49+147≠0
Do đó A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.
LG b
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
VABCD=16|[→AB,→AC].→AD|=1966=983.
LG c
Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Lời giải chi tiết:
Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :
{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2.
Từ đó suy ra x=−2,y=1,z=−5. Vậy I=(−2;1;−5) và R = IA = 7.
Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình :
(S):(x+2)2+(y−1)2+(z+5)2=49.
LG d
Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S).
Lời giải chi tiết:
Dạng tham số của đường thẳng d là :
{x=−5+3ty=−11+5tz=9−4t.
Toạ độ (x;y;z) của giao điểm của d và (S) thoả mãn hệ :
{x=−5+3ty=−11+5tz=9−4t.(x+2)2+(y−1)2+(z+5)2=49.
=>(3t−3)2+(5t−12)2+(−4t+14)2=49⇔t2−5t+6=0⇔[t=2t=3.
+) Khi t = 2 thì x=1;y=−1;z=1, ta được điểm M(1;−1;1).
+) Khi t = 3 thì x=4;y=4;z=−3, ta được điểm N(4;4;−3).
Vậy cắt (S) tại hai điểm M(1;−1;1). và N(4;4;−3).
LG e
Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M. Khi đó, (P) đi qua điểm M(1;−1;1). và có vectơ pháp tuyến →np=→IM=(3;−2;6).
Vậy phương trình của (P) là:
3(x−1)−2(y+1)+6(z−1)=0
⇔3x−2y+6z−11=0.
Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại N. Khi đó, mp(Q) đi qua điểm N(4;4;−3) và có vectơ pháp tuyến →nQ=→IN=(6;3;2).
Vậy phương trình của (Q) là :
6(x−4)+3(y−4)+2(z+3)=0
⇔6x+3y+2z−30=0.
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có
cosφ=|→nP.→nQ||→nP||→nQ|=|18−6+12|√9+4+36.√36+9+4=2449.
