Đề bài
Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;0;1), có vec tơ chỉ phương →u1(0;1;0) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương →u2(1;0;0). Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d1, d2.
Lời giải chi tiết
Với điểm M(x;y;z) bất kì, ta tính được các khoảng cách từ M tới d1 và d2 là:
h1=√(z−1)2+x2, h2=√(z+1)2+y2.
M cách đều d1 và d2 khi và chỉ khi
h1=h2 ⇔√(z−1)2+x2=√(z+1)2+y2
⇔x2−2z=y2+2z⇔x2−y2=4z.
Xét trường hợp sau:
+) M∈ mp(Oxy) khi đó z=0 suy ra x2−y2=0.
Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng y=±x nằm trong mặt phẳng z=0.
+) M ∈ mp(Oyz), tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y2 = -4z nằm trong mặt phẳng x = 0.
+) M ∈ mp(Oxz), tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x2 = 4z nằm trong mặt phẳng y = 0.
