Đề bài
Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;0;1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (0;1;0)\) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (1;0;0).\) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d1, d2.
Lời giải chi tiết
Với điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) bất kì, ta tính được các khoảng cách từ \(M\) tới \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
\({h_1} = \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} ,\) \({h_2} = \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2} + {y^2}} .\)
M cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) khi và chỉ khi
\({h_1} = {h_2}\) \(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {{{\left( {z + 1}\right)}^2} + {y^2}} \)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 2z = {y^2} + 2z \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 4z. \cr} \)
Xét trường hợp sau:
+) \(M \in \) mp\(\left( {Oxy} \right)\) khi đó \(z = 0\) suy ra \({x^2} - {y^2} = 0.\)
Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng \(y = \pm x\) nằm trong mặt phẳng \(z = 0\).
+) M \( \in \) mp(Oyz), tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y2 = -4z nằm trong mặt phẳng x = 0.
+) M \( \in \) mp(Oxz), tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x2 = 4z nằm trong mặt phẳng y = 0.
