Đề bài
Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C=(0;0;c) với a,b,c>0 và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :
xa+yb+zc=1.
Vì M0∈(P) nên 1a+1b+1c=1.
Thể tích của tứ diện OABC là : VOABC=16abc.
Theo bất đẳng thức Cô-si :
1=1a+1b+1c≥33√abc⇔abc≥27
⇒VOABC≥276=92, dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3.
Vậy VOABC nhỏ nhất bằng 92 khi a=b=c=3, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là x+y+z−3=0.
