LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
f(x)=x2−1x
Lời giải chi tiết:
Ta có: f(x)=x2−1x=x−1x
+) TXĐ: D=R∖{0}
+) Chiều biến thiên:
limx→0+y=−∞,limx→0−y=+∞ nên TCĐ: x = 0.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{1}{x}} \right) = 0 nên TCX: y = x.
Ta có:
y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in D
Hàm số đồng biến trên từng khoảng \left( { - \infty ;0} \right) và \left( {0; + \infty } \right) và không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \left( { - 1;0} \right) và \left( {1;0} \right).
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M\left( {{x_0};{f_{\left( {{x_0}} \right)}}} \right)
Lời giải chi tiết:
Với x = {x_0} ta có f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}
f'\left( {{x_0}} \right) = 1 + \frac{1}{{x_0^2}} nên phương trình tiếp tuyến tại M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là:
\begin{array}{l}y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}} + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}\end{array}
Vậy y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}.
LG c
Tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) theo thứ tự tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và diện tích tam giác OAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường cong (C).
Lời giải chi tiết:
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\left( {1 + {1 \over {x_0^2}}} \right)x - {2 \over {{x_0}}} = x
\Leftrightarrow \frac{1}{{x_0^2}}x = \frac{2}{{{x_0}}} \Leftrightarrow x = 2{x_0}
\Rightarrow {x_B} = 2{x_0}
Vì {x_A} + {x_B} = 0 + 2{x_0} = 2{x_M} , và ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Dễ thấy {y_A} = - {2 \over {{x_0}}}
Diện tích tam giác OAB là
S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right|
= {1 \over 2}.{2 \over {\left| {{x_0}} \right|}}.2\left| {{x_0}} \right| = 2
