Tìm cực trị của các hàm số sau:
LG a
y=sin2x−√3cosx;x∈[0;π]
Lời giải chi tiết:
y′=2sinxcosx+√3sinx
=sinx(2cosx+√3)
Với 0<x<π ta có sinx>0. Do đó
y′=0 ⇔cosx=−√32⇔x=5π6
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại điểm x=5π6;y=(5π6)=134
Có thể áp dụng quy tắc 2
y′=sin2x+√3sinx
y″
y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6}
= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) = - {1 \over 2} < 0
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}
LG b
y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]
Lời giải chi tiết:
y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x(1 - 2\sin x)
Với 0 < x < \pi , ta có
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow x = {\pi \over 2},x = {\pi \over 6},x = {{5\pi } \over 6}
Ta áp dụng quy tắc 2
y'' = - 2\sin x - 4\cos 2x
y'' = \left( {{\pi \over 2}} \right) = - 2\sin {\pi \over 2} - 4\cos x = 2 > 0
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = {\pi \over 2};y\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1
y''\left( {{\pi \over 6}} \right) = - 2\sin {\pi \over 6} - 4\cos {\pi \over 3} = - 3 < 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = {\pi \over 6};y\left( {{\pi \over 6}} \right) = {3 \over 2}
y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} = - 3 < 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}
