LG a
Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2).
Lời giải chi tiết:
Điểm M(x ; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi
{MA2=MB2MA2=MC2
Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là:
{x=−8−3ty=tz=15+7t
Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
LG b
Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1;1;0).
Lời giải chi tiết:
Xét điểm M(x ; y ; z). Khi đó khoảng cách dx từ M tới trục Ox là
dx=|[→OM,→i]||→i|=√y2+z2.
khoảng cách dy từ M tới trục Oy là
dy=|[→OM,→j]||→j|=√x2+z2.
Mặt khác MA=√(x−1)2+(y−1)2+z2.
Vậy M là một điểm của quỹ tích khi
{y2+z2=x2+z2y2+z2=x2+y2+z2−2(x+y)+2
⇔{x2=y2(1)x2−2(x+y)+2=0.(2)
Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y.
Khi x = y, phương trình (2) có dạng: x2−4x+2=0⇒x=2±√2.
Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà:
{x=2+√2y=2+√2z=t (3) và {x=2−√2y=2−√2z=t (4)
Khi x=−y, phương trình (2) trở thành: x2+2=0. Điều này không xảy ra.
Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4)
