Đề bài
Cho phép vị tự V tâm O tỉ số \(k \ne 1\) và phép vị tự V’ tâm O’ tỉ số k’. Chứng minh rằng nếu kk’=1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết
Với mỗi điểm M, ta lấy M1 sao cho \(\overrightarrow {O{M_1}} = k\overrightarrow {OM} \)rồi lấy điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {{O'}M'} = {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} \) thì hợp thành V và V’ biến điểm M thành M’.
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {M{M'}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M'}} \cr& =\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {{O'}{M'}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \overrightarrow {O{M_1}} - {1 \over k}\overrightarrow {O{M_1}} + {k'}\overrightarrow {{O'}{M_1}} - \overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {{k'} - 1} \right)\overrightarrow {{O'}{M_1}} \cr & = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\overrightarrow {O{M_1}} + \left( {1 - {k'}} \right)\overrightarrow {{M_1}{O'}} . \cr} \)
Chú ý rằng vì kk’=1 nên \({k'} = {1 \over k}\), bởi vậy đẳng thức trên trở thành :
\(\overrightarrow {M{M'}} = \left( {1 - {1 \over k}} \right)\left( {\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{O'}} } \right)\)\( = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} .\)
Từ đó suy ra hợp thành của V và V’ là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = {{k - 1} \over k}\overrightarrow {O{O'}} \).
