Đề bài
Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k≠1 và phép vị tự V’ tâm O’ tỉ số k’. Chứng minh rằng nếu kk’=1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết
Với mỗi điểm M, ta lấy M1 sao cho →OM1=k→OMrồi lấy điểm M’ sao cho →O′M′=k′→O′M1 thì hợp thành V và V’ biến điểm M thành M’.
Ta có:
→MM′=→MM1+→M1M′=→OM1−→OM+→O′M′−→O′M1=→OM1−1k→OM1+k′→O′M1−→O′M1=(1−1k)→OM1+(k′−1)→O′M1=(1−1k)→OM1+(1−k′)→M1O′.
Chú ý rằng vì kk’=1 nên k′=1k, bởi vậy đẳng thức trên trở thành :
→MM′=(1−1k)(→OM1+→M1O′)=k−1k→OO′.
Từ đó suy ra hợp thành của V và V’ là phép tịnh tiến theo vectơ →v=k−1k→OO′.
