LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=x3−6x2+9x
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D=R.
+) Chiều biến thiên:
lim
\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x + 9\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}
BBT:
Hàm số đồng biến trên \left( { - \infty ;1} \right) và \left( {3; + \infty } \right).
Hàm số nghịch biến trên \left( {1;3} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = 1,{y_{CD}} = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3,{y_{CT}} = 0.
+) Đồ thị:
\begin{array}{l}y'' = 6x - 12\\y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 2\end{array}
Điểm uốn I\left( {2;2} \right).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0;0} \right).
Điểm cực đại \left( {1;4} \right) và điểm cực tiểu \left( {3;0} \right).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l}{x^3} - 6{x^2} + 9x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array}
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \left( {0;0} \right) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \left( {3;0} \right).
LG b
Chứng minh rằng điểm uốn của đường cong (C) là tâm đối xứng của nó
Lời giải chi tiết:
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \overrightarrow {OI} là: \left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y + 2\end{array} \right.
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:
\begin{array}{l}Y + 2 = {\left( {X + 2} \right)^3} - 6{\left( {X + 2} \right)^2} + 9\left( {X + 2} \right)\\ \Leftrightarrow Y + 2 = {X^3} + 6{X^2} + 12X + 8\\ - 6{X^2} - 24X - 24 + 9X + 18\\ \Leftrightarrow Y + 2 = {X^3} - 3X + 2\\ \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X\end{array}
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
LG c
Với các giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ?
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số.
Do đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=m (song song hoặc trùng Ox và đi qua điểm (0;m)) phải cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Quan sát đồ thì ta thấy 0 < m < 4 thỏa mãn.
