Đề bài
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và chiều cao thay đổi. Tìm hệ thức liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của hình chóp để V1V2 đạt giá trị nhỏ nhất, ở đó V1,V2 lần lượt là thể tích của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
Lời giải chi tiết
Gọi x là độ dài cạnh đáy, y là chiều cao của hình chóp; R, r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp thì dễ tính được R=x2+2y24y,
r=xyx+√x2+4y2. Vậy
V1V2=(Rr)3=[(x2+2y2)(x+√x2+4y2)4xy2]3.
Từ đó V1V2 nhỏ nhất khi và chỉ khi Rr nhỏ nhất.
Gọi φ là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì φ=^SIH (I là trung điểm của BC ). Khi đó y=x2tanφ⇒4y2=x2tan2φ, từ đó
Rr=(x2+x2tan2φ2)(x+√x2+x2tan2φ)x3tan2φ=(2+tan2φ)(1+1cosφ)2tan2φ=(1+1cos2φ)(cosφ+1cosφ)2⋅1−cos2φcos2φ=1+cos2φ2cosφ(1−cosφ)=12⋅1+t2t(1−t)
(với 0<t=cosφ<1.)
Như vậy, V1V2 nhỏ nhất khi và chỉ khi f(t)=1+t2t(1−t) đạt giá trị nhỏ nhất (0< t < 1).
Ta có :
f′(t)=2t(1−t2)−(1−2t)(1+t2)[t(1−t)]2=2t2−2t3−1+2t−t2+2t3[t(1−t)]2=t2+2t−1t2(1−t)2.
f′(t)=0⇔t2+2t−1=0⇔t=−1+√2 (do 0< t <1).
Ta có bảng biến thiên
Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t=−1+√2, tức là cosφ=−1+√2
⇔1+tan2φ=13−2√2⇔tan2φ=1−3+2√23−2√2=2(√2−1)(√2−1)2=2√2−1=2(√2+1)⇒tanφ=√2√2+2.
Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y là y=x√2√2+22.
Khi đó V1V2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Loigiaihay.com
