Đề bài
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q) sao cho OO’ vuông góc với (P). Đặt OO’ = h. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua hai đường tròn trên, tính diện tích mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử R≤R′. Vì OO′⊥(P) nên mọi điểm thuộc OO’ cách đều các điểm của đường tròn (O;R), đồng thời cách đều các điểm của đường tròn (O’;R’),
Xét mp(R) qua OO’ và hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến OA, O’A', A∈(O;R),A′∈(O′;R′).
Trong mp(R) , đường trung trực AA’ cắt OO’ tại J. Khi đó, mặt cầu tâm J, bán kính JA đi qua cả hai đường tròn (O;R) và (O’;R’).
Gọi S là diện tích mặt cầu đó thì
S=4π.JA2=4π(OA2+JO2)=4π(R2+JO2).
Kẻ IH song song với AO(H∈OO′) thì OH=h2.
Từ OH+JH=JO, suy ra h2+JH=JO.
Kẻ AK song song với OO’((K∈O′A′) thì có HJA′K=IHAK, từ đó
HJ=R′+R2.(R′−R)h=R′2−R22h.
Vậy JO=h2+R′2−R22h=h2+R′2−R22h và diện tích mặt cầu phải tìm là
S=4π[R2+(h2+R′2−R2)24h2]=π.4R2h2+(h2+R′2−R2)2h2.
