Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D( 1 ; 1 ; 1).
LG 1
Chứng minh A, B,C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.
Lời giải chi tiết:
→CA=(;0;1),→CB=(1;1;−1),→CD=(1;1;0)
=>[→CA,→CB]=(−1;2;1)
⇒[→CA,→CB].→CD=1≠0
=> A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.
LG 2
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
VABCD=16|[→CA,→CB].→CD|=16.
LG 3
Viết phương trình đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D có thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp(ABC) hay vectơ [→CA,→CB]=(−1;2;1).
Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là x−1−1=y−12=z−11.
LG 4
Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0.
Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình
{2a+4c−d−5=02a+2b−d−2=02c−d−1=02a+2b+2c−d−3=0.
Giải hệ ta có : a=32,b=−12,c=12,d=0.
Vậy phương trình mặt cầu (S) là
x2+y2+z2−3x+y−z=0.
Suy ra (S) có tâm là I(32;−12;12) và bán kính R=√112.
LG 5
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại đỉnh A.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A có vectơ pháp tuyến là
→AI=(12;−12;−32)=12(1;−1;−3).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
(x−1)−(y−0)−3(z−2)=0<=>x−y−3z+5=0.
LG 6
Xác định toạ độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(BCD).
Lời giải chi tiết:
Ta viết phương trình mp(BCD), đó là mặt phẳng đi qua C(0;0;1) và các vectơ pháp tuyến →n=[→CB,→CD]=(1;−1;0).
Vậy mp(BCD) có phương trình : x−y=0.
Đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD) có phương trình là
{x=1+ty=−tz=2.
Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với mp(BCD), toạ độ của K là nghiệm của hệ
{x=1+ty=−tz=2x−y=0⇒K=(12;12;2).
Vì A ' là điểm đối xứng với A qua mp(BCD) nên ta có
{xA′+xA=2xKyA′+yA=2yKzA′+zA=2zK⇒A′=(0;1;2).
LG 7
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng nhận thấy BD song song với mp(xOz) mà mp(xOz) chứa AC nên d(AC,BD)=d(B,(xOz))=1.
